Tám thập kỷ sau khi Paul Erdős đưa ra bài toán khoảng cách đơn vị vào năm 1946, một AI đa năng đã tạo ra các cấu hình vượt qua các cận suy đoán đã tồn tại lâu nay, qua đó chứng minh ít nhất n^(1+δ) cặp điểm có khoảng cách đơn vị với một δ>0. Các nhà toán học tại Princeton đã xác minh kết quả, với những nhân vật như Tim Gowers và Arul Shankar gọi đây là một bước tiến đáng kể.
- Các ý chính:
- OpenAI giải câu đố năm 1946 của Paul Erdős bằng các cách dựng n^(1+δ) cặp điểm cách nhau đúng 1 đơn vị.
- Princeton xác minh kết quả, tạo cú hích về độ tin cậy cho AI trong toán học vào năm 2026.
- Tim Gowers cho rằng bước tiến này có thể ảnh hưởng đến mật mã và các phép chứng minh vượt ra ngoài hình học.
Câu đố hình học đã 80 năm tuổi cuối cùng cũng có chuyển biến khi một hệ thống của OpenAI ghép lại một cấu hình ít ngờ tới, vượt qua các kỳ vọng từng có. Bài toán khoảng cách đơn vị, do Paul Erdős nêu ra năm 1946, hỏi trong số n điểm trên mặt phẳng, có thể tồn tại bao nhiêu cặp điểm cách nhau đúng 1 đơn vị; AI đã tìm ra các cấu hình tăng nhanh hơn so với “bài học kinh điển” cho phép. Các nhà toán học Princeton đã kiểm tra công trình, và những tên tuổi hàng đầu như Tim Gowers và Arul Shankar đã chú ý. Vượt xa quyền khoe mẽ, kết quả còn gợi ý về một kiểu “cộng tác viên” mới cho toán học—một kiểu dùng suy luận tổng quát để vượt qua các trực giác quen thuộc của con người.
AI phá vỡ bí ẩn toán học 80 năm tuổi bằng lời giải đột phá
Một số bài toán cứ khẽ chạm đến giới hạn kiên nhẫn của con người. Bài toán khoảng cách đơn vị, do Paul Erdős nêu ra vào năm 1946, đặt ra một câu hỏi tưởng chừng sắc gọn: với n điểm trên một mặt phẳng, có thể có bao nhiêu cặp điểm cách nhau đúng 1 đơn vị. Nhiều thế hệ đã lao vào nó bằng lưới ô vuông, đối xứng và sự bền bỉ. Tiến triển đến từng chút, không phải bước nhảy. Rồi, lặng lẽ, một AI xuất hiện.
Một vấn đề nhiều thập kỷ, cuối cùng cũng được giải
Cách tiếp cận cổ điển sắp xếp các điểm theo các lưới hình vuông, tinh chỉnh tỉ lệ để “mồi” thêm các cặp điểm ở khoảng cách 1. Phương pháp đó gợi ý mức tăng chỉ nhỉnh hơn tuyến tính, xấp xỉ n nhân với một hệ số nhích lên rất nhẹ khi n lớn dần. Giới nghiên cứu đã chốt lại quanh ý tưởng rằng cận dưới tốt nhất nằm gần n^(1+o(1)), nhích trên n, chứ không phải một bước tiến lớn.
AI vượt trội so với các suy đoán
Theo các nhà nghiên cứu tham gia, một mô hình nội bộ của OpenAI đã đề xuất một họ cấu hình điểm mới, vượt qua ngưỡng mà người ta từ lâu cho là không thể chạm tới. Hệ thống tạo ra các cách dựng với ít nhất n^(1+δ) cặp điểm ở khoảng cách đơn vị, với một δ cố định lớn hơn 0, không hề mờ đi khi n tăng. Đó là một cải thiện đa thức thật sự, không phải sai số làm tròn.
Cách làm kết hợp trực giác hình học với lý thuyết số đại số nâng cao, một bộ công cụ bất ngờ cho một bài toán đếm trong không gian. Nó không đến từ một “động cơ” chuyên về toán. Thay vào đó, nó nảy sinh từ một mô hình suy luận tổng quát đang được đánh giá, gợi ý khả năng suy nghĩ rộng hơn—có thể luồn qua nhiều miền khác nhau khi không gian tìm kiếm quá lớn.
Được chuyên gia xác nhận, được cả lĩnh vực ca ngợi
Các nhà toán học độc lập tại Đại học Princeton đã xem xét các cách dựng của AI và xác nhận kết quả, theo những người quen thuộc với quá trình rà soát. Những tiếng nói được kính trọng, bao gồm Sir Tim Gowers và Arul Shankar, đã ca ngợi bước tiến như một sự tiến triển có ý nghĩa đối với lĩnh vực. Đây là trường hợp một cận dưới mới—đã đứng yên lâu—cuối cùng đã dịch chuyển, bởi vì một AI tìm được “lăng kính” đúng.
Ý nghĩa cho toán học và xa hơn nữa
Điều gì xảy ra khi một mô hình đa năng lấn lên qua các suy đoán đã “đóng đinh”. Thứ nhất, nó gợi ý một quy trình trong đó máy móc đưa ra các cấu trúc ứng viên, còn con người thì “căng bài” để kiểm chứng. Ngoài hình học, các lĩnh vực như tổ hợp học, lý thuyết mã hóa và mật mã cũng có thể chứng kiến các cộng tác tương tự khi các phép chứng minh phụ thuộc vào những cấu trúc hiếm.
